Cvejić je rođen u Beogradu 25. avgusta 1946. godine, a maturirao je u Petoj beogradskoj gimnaziji 1965. i iste godine upisao glumu na Fakultetu dramskih umetnosti u Beogradu.
Zajedno sa celom novom generacijom glumaca na poziv Bojana Stupice postaje član JDP u maju 1967. godine.
U matičnoj kući odigrao je više od 50 uloga, gostovao je i na drugim pozorišnim scenama, između ostalog i u Zvezdara teatru - pozorištu u čijem je osnivanju i sam učestvovao.
Igrao je u više od 40 celovečernjih igranih filmova i ostvario niz značajnih uloga u TV serijama, filmovima i dramama.
Bio je direktor JDP od 2002. do kraja 2011, godine, a kao pomoćnik direktora bio je angažovan u periodu 1986–1999. godine i imenovan za operativnog direktora s odgovornošću za poslove izgradnje nove zgrade pozorišta 2000. godine.
Branko Cvejić pripada generaciji srpskih i jugoslovenskih pozorišnih, filmskih i televizijskih glumaca koja je, krajem šezdesetih godina prošlog veka, osvojila, potpuno preuzela i radikalno izmenila izgled ovdašnjeg glumišta, navodi se u saopštenju.
Doprinos Branka Cvejića ovoj glumačkoj revoluciji kulminirao je u televizijskoj seriji, kao i kasnijem filmskom nastavku, "Grlom u jagode", autora Srđana Karanovića i Rajka Grlića, u kojoj je ovaj stilski prevrat, najavljen brojnim ranijim ulogama u JDP i Ateljeu 212, kao i na filmu i televiziji, "ozvaničen" i ustoličen.
Uloga Baneta Bumbara u seriji "Grlom u jagode" učinila je Branka Cvejića jednim od vodećih dramskih umetnika svoje generacije i ondašnje Jugoslavije.
Datum i vreme komemoracije, koja će se održati u JDP, biće naknadno saopšteni.